De wiskunde achter pokerhanden

wiskunde pokerhanden combinaties

Het berekenen van de pokerhanden is niet heel moeilijk. Er zijn in totaal maar tien basiscombinaties waar een grote logica in zit. Lees even dit artikel over de pokerhanden door, en je kunt zo aan de slag! We gaan per pokerhand uitleggen hoe de hand is samengesteld, en daarna waarom deze hand beter is dan een andere.

Denk je het allemaal te weten? Probeer het met 88$ gratis uit op 888Poker!

Eerst voor het overzicht:

Soort hand Percentage kans 1 op de hoeveel handen?
Royal flush 0,000154% 1 op de 649,740
Straight flush 0,0013% 1 op de 72.193 handen
Four of a kind 0,024% 1 op de 4.164 handen
Full house 0,144% 1 op de 694 handen
Flush 0,197% 1 op de 508 handen
Straight 0,392% 1 op de 255 handen
Three of a kind 2,11% 1 op de 47 handen
Two pair 4,64% 1 op de 21 handen
One pair 42,3% 1 op de 2,36 handen
High card 50,1% 1 op de 1,99 handen

De volgorde van de pokerhanden is bekend, we beginnen met de royal flush en eindigen met de high card. Maar waarom is de ene hand eigenlijk beter dan de andere? Hoe hebben de speltheoretici dit berekend?

Eigenlijk is het antwoord heel simpel. Zodra je een kleine kans hebt om een bepaalde hand te maken heb je een betere hand. En om die kans te berekenen met een kaartspel van 52 unieke kaarten kunnen we simpele kansrekening gebruiken.

Wiskunde achter de pokerhanden, de formule

De wiskunde formule om een kans te berekenen is:

Totaal aantal goede mogelijkheden
------------------------------------------      * 100%
Totaal aantal mogelijkheden

Het totaal aantal mogelijkheden is altijd hetzelfde: we moeten uit 52 verschillende kaarten 5 willekeurige kaarten pakken. Om het aantal mogelijkheden te berekenen voeren we simpelweg een combinatie uit 52 boven 5. Dat zijn 2,598,960 verschillende manieren om 5 willekeurige kaarten te trekken.

Tot slot hoeven we slechts te berekenen hoeveel mogelijkheden er zijn om een bepaalde pokerhand te krijgen en dat te vermenigvuldigen met 100%.

Zoals gebruikelijk gaan we in de volgorde van beste hand (minste kans) naar slechste hand (meeste kans om te krijgen)

Wiskunde per pokerhand

Tip: met PokerTracker kun je kijken of jouw handen bij de statistieken in de buurt komen!
Probeer het bij een van onze aanbevolen poker sites en analyseer het met PokerTracker!

Royal Flush – 1 op 649,740

We beginnen met de Royal Flush. Het aantal mogelijkheden om die te krijgen is heel makkelijk te berekenen. 4! Het kan namelijk alleen met de vier kleuren, verder is er geen mogelijkheid. De formule wordt dus 4/2,598,960 * 100% = 0,000154%. Dat is 1op de649,740 handen!

Straight Flush – 1 op 72,193

Ten tweede de Straight Flush. Voor een enkele kleur kun je negen straten maken. 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q en K high straights. A natuurlijk niet: dat zou een royal worden. Omdat we vier kleuren hebben zijn er 36 manieren om de straight flush te maken. Dat maakt de formule 36/2,598,960 * 100% = 0,00139%. Je krijgt dus 1 op de 72,193 handen een straight flush.

Four of a kind – 1 op 4,165

Daarna de four of a kind. Om de quads zelf te maken zijn maar vier kaarten nodig: omdat dat dezelfde vier kaarten moeten zijn zijn er 13 combinaties om de quads te maken. Omdat we echter uitgaan van 5 kaarten zijn er 52 – 4 (we hebben al 4 kaarten voor de quads gebruikt) = 48 mogelijkheden om de laatste kaart te krijgen.

Vervolgens hoeven we simpelweg 13 * 48 = 624 te berekenen en we hebben het aantal mogelijkheden. 624/5,598,960 * 100% = 0,024010. Dat houdt in dat je 1 op de 4,165 keer quads krijgt.

Full house – 1 op 694

De full house wordt iets complexer. Eerst moeten we het aantal mogelijkheden berekenen dat de eerste drie kaarten dezelfde zijn. Ten eerste kunnen we kiezen uit 13 kaarten. Van diezelfde kaart moeten we er vervolgens nog twee pakken. Van de vier kleuren kiezen we er drie: 4C3 = 4 combinaties. Voor de eerste drie kaarten zijn er dus 13*4 =  52 verschillende mogelijkheden.

Voor de volgende twee kaarten kunnen we eerst kiezen uit 12 kaarten (Alle kaarten behalve degene waarvoor we de eerste drie kaarten hadden). Ten slotte hebben we voor die twee kaarten vier kleuren tot onze beschikking: 4C2 = 6 combinaties. Voor de laatste twee kaarten zijn dus 12*6 = 72 mogelijkheden.

Tot slot vermenigvuldigen we het aantal mogelijkheden van de eerste drie met het aantal van de laatste twee. 52*72 = 3,744 mogelijkheden om een full house te maken. Nu delen we dit door het aantal mogelijkheden en voila! 3,744/5,598,960 * 100% = 0,144%. Dat is 1 op de 694 keer. Die kansen worden al beter!

Flush – 1 op 508

De flush berekenen we op een iets andere manier: we gaan niet uit van het aantal mogelijkheden maar berekenen van elke kaart direct de kans:

De eerste kaart maakt niet uit: 52/52

De tweede kaart moet van dezelfde kleur zijn: 12/51

De derde t/m de vijfde ook: 11/50, 10/49 en 9/48

Om de kans om een flush te krijgen te berekenen vermenigvuldigen we al deze breuken. 52/52 * 12/51 * 11/50 * 10/49 * 9/48 = 0,00197. Dat is een kans van 0,197%. Je krijgt dus 1 op de 508 handen een flush.

Straight – 1 op 255

Op eerste gezicht lijkt het heel lastig om het aantal mogelijkheden een straight te krijgen: maar eigenlijk is het heel simpel. Wat je je moet realiseren is dat er tien verschillende straights zijn (5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A). 10 Straights dus.

Elk van de vijf kaarten kan uit elke kleur bestaan. Dat berekenen we met 4 tot de macht 5.

4^5 * 10 = 10240 manieren om een straight te maken. Daar zitten echter ook alle royal en straight flushes bij. Dat waren er 4+36. Het aantal manieren om een normale straight te maken is dus 10200.

De formule wordt dus 10,200/5,598,960 * 100% = 0,392%. Dat is een kans van 1 op 255.

Three of a kind  – 1 op 47

De three of a kind wordt ongeveer hetzelfde berekend als de full house. Daar hadden we al gezien dat er 52 (13*4) mogelijkheden zijn om de eerste drie kaarten hetzelfde te hebben.

Voor de overige twee kaarten moeten we twee verschillende kiezen. (twee dezelfde zou een full house maken) Uit de 12 kaarten nemer we er 2. Een combinatie van 12 boven 2 is 66 combinaties. Beide kaarten kunnen in 4 kleuren -> 4^2= 16 combinaties van kleuren. Voor de laatste twee kaarten zijn er dus 66*16 = 1056 mogelijkheden.

We hebben dus 52 combinaties voor de eerste 3 kaarten en 1,056 voor de laatste twee. Er zijn dus 52*1,056 = 54,912 mogelijkheden om three of a kind te maken. Tot slot alleen de formule: 54,912/5,598,960 * 100% = 2,11%. De kans dat je three of a kind krijgt is dan 1 op 47.

Two pair – 1 op 21

Twee paar is iets ingewikkelder om te berekenen. Eerst moeten we kijken hoeveel mogelijkheden er zijn om de twee waarden van de paren te berekenen. Van de 13 waarden zijn dat er 2. 13C2 = 78 mogelijkheden.

Daarna moeten we van beide paren twee kleuren kiezen. Er zijn natuurlijk vier kleuren beschikbaar. De combinatie van 4 boven 2 voeren we dus twee keer uit. 4C2^2 = 36. Het aantal mogelijkheden om de eerste twee paar te krijgen is dus 78*36 = 2808.

Voor de laatste kaart zijn er 44 over. (Alles behalve de 8 van de paren) Het aantal mogelijkheden voor de eerste 4 is dus 2808 en de laatste kaart 44. 2808 * 44 = 123,552.

123,552/5,598,960 * 100% = 4,75%. Dat maakt de kans dat je twee paar krijgt in een hand 1 op 21. Die krijg je dus vrij vaak!

One pair – 1 op 2.36

Zoals gezegd is de kans dat je een paar krijgt erg groot. Ten eerste zijn er 13 verschillende kaarten om het paar uit te kiezen. Van die kaart hebben we er vier en we moeten er twee hebben. 4C2 is 6. Voor het paar zijn er dus 13*6 = 78 mogelijkheden.

De volgende drie kaarten moeten 3 verschillende zijn uit 12 kaarten. Van elk van deze kaarten kunnen we kiezen uit 4 kleuren. 12C3 vermenigvuldigen we daarom met 4C1^3. 12C3 = 220 en 4^3 maakt 64. Voor de laatste drie kaarten zijn er dus 220*64 = 14,080 mogelijkheden.

Dit combineren we met het eerste paar en komen erachter dat er maar liefst 78 * 14,080 = 1,098,240 verschillende manieren zijn. Dat is een kans van 1,098,240/5,598,960 * 100% = 42,3%. Dat betekent dat je 1 keer per 2.364 handen een paar krijgt: bijna de helft van alle handen dus.

High card – 1 op 1.99

De high card is de allerslechtste hand. Deze is dan ook zeer makkelijk te krijgen. Om de kans te berekenen dat je een high card krijgt zijn we een hele tijd bezig. Veel makkelijker is het om de kans te berekenen dat we alle andere pokerhanden niet krijgen. Dat doen we door alle opgetelde percentages van 100% af te trekken.

De kans dat je iets anders hit is 49.9%. Dat trekken we van 100% en vinden 50.1%. De kans dat je slechts een high card krijgt is dus meer dan 50%! Dat houdt in dat je 1 op de 1.99 handen een high card krijgt. Meer dan de helft van je handen zit je dus met helemaal niks!

Het is wiskundig goed onderbouwd dat een flush beter is dan een straight, er is een veel kleinere kans om hem te maken!

Heb je vragen over dit artikel? Je kunt altijd terecht bij ons contact formulier!